2020届江苏省、姜堰中学高三12月阶段性测试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，若，则实数______.

2. 难度：简单

若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数______.

3. 难度：简单

一组数据4，5，6，8，的平均数为7，则该组数据的方差为______.

4. 难度：简单

根据如图所示的伪代码，可知输出的值为_________．

5. 难度：简单

袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四个数.现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______.

6. 难度：简单

函数的定义域为______.

7. 难度：简单

已知各项都不为0的等差数列满足，则的值为______.

8. 难度：简单

函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式，则______.

9. 难度：简单

当双曲线的离心率最小时，则双曲线的两条渐近线方程为______.

10. 难度：简单

如图，圆柱体内接于球，点为圆柱的上底面与球表面的一个公共点，若，圆柱的体积为，球的体积为，则______.

11. 难度：中等

已知且，则______.

12. 难度：中等

如图，已知三角形中，，，若点为线段的三等分点（靠近点），则的最小值为______.

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知圆:与轴交于､(点在点的左侧)，圆的弦过点，分别过､作圆的切线，交点为，则线段的最小值为______.

14. 难度：中等

已知实数，满足，，则______.

二、解答题

15. 难度：简单

已知向量，.

（1）若时，求与夹角的余弦值；

（2）当且时，若，.求的值.

16. 难度：简单

如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且满足.

（1）求证:；

（2）求证:平面.

17. 难度：中等

如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案:

（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；

（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点､在半径､上，且，，求花圃面积的最大值.

18. 难度：困难

已知椭圆:的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知､为椭圆上不同的两点.①设线段的中点为点，证明:直线､的斜率之积为定值；②若､两点满足，当的面积最大时，求的值.

19. 难度：困难

已知函数，.

（1）当时，求函数在上的单调性；

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为3，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）当，求证:.

20. 难度：困难

已知数列的各项均为正数，前项和满足；数列是等比数列，前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知等比数列满足，，，求数列前项和为；

（3）若，且等比数列的公比，若存在，使得，试求的值.

21. 难度：简单

已知矩阵的一个特征值及对应的一个特征向量.求矩阵的逆矩阵.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）当时，设、分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值.

23. 难度：简单

第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会后我国举办的规模最大的国际体育盛会.经过激烈角逐，奖牌榜的前6名依次为中国､俄罗斯､巴西､法国､波兰和德国.其中德国队共有45名运动员获得了奖牌，其中金牌10枚､银牌15枚､铜牌20枚，某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国队获奖选手中抽取9名获奖代表.

（1）请问这9名获奖代表中获金牌､银牌､铜牌的人数分别为多少人?

（2）从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为，求的分布列和期望.

24. 难度：困难

已知抛物线:的焦点为，准线为直线，､､三点均在抛物线上且过点，过点.

（1）写出点的坐标和直线的方程；

（2）记，的面积分别为，，求的最小值.