山东省青岛市胶州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知数列的前项和为，若，，.则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

袋中装有大小与重量均相同的黑球个，白球个.从中不放回的先后任取两个小球，均为白球的概率为（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（    ）

A. B.或 C.或 D.

4. 难度：简单

某人进行投篮训练次，每次命中的概率为（相互独立），则命中次数的标准差等于（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

二项式的展开式中含有项的系数为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

（如图）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（ ）

A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

8. 难度：中等

如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（    ）个

A. B. C. D.

二、多选题

9. 难度：中等

已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A.直线的倾斜角是 B.若直线则

C.点到直线的距离是 D.过与直线平行的直线方程是

10. 难度：简单

已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

下列说法正确的是（    ）

A.某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种；

B.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是；

C.某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人；

D.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是.

12. 难度：中等

过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（    ）

A.抛物线的焦点坐标为 B.

C.为抛物线上的动点，，则 D.

三、填空题

13. 难度：简单

二项式的展开式中所有项的系数和等于_________.

14. 难度：中等

已知直线与圆相交于两点，若，则______.

15. 难度：中等

某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在（千米）到（千米）之间的概率为___________.（参考公式:随机变量服从正态分布，则，，.）

16. 难度：中等

已知数列的前项和，数列的前项和，，则正整数的最大值为_________.

四、解答题

17. 难度：中等

足球运动的真谛不仅在于竞技，更在于增强人民体质，培养人们爱国主义、集体主义、顽强拼搏的精神.足球是人类交流的另类“语言”，而其他竞技方式，无论从深度到广度，从速度到力度，都难以与足球比肩，就交流与表达而言，足球是人类最能展露自己天性的运动.

（1）已知某国每年注册足球运动员的人数（万人）与该国年度国际足联排名线性相关，统计数据如下表：

求变量与的线性回归方程，并预测该国年度国际足联排名为第时注册足球运动员的人数；（参考公式：）

（参考数据：；）

（2）从该国中学生中选出名男生进行颠球挑战，若能一次性连续颠球超过个就可获得一个奖励足球，每人只能挑战一次.已知这名男生每人能够一次性连续颠球超过个的概率均为，且相互独立.求这名男生获得奖励足球个数的数学期望及获得奖励足球超过个的概率（精确到）.（参考数据：）

18. 难度：中等

已知等比数列的公比为，若，且与的等差中项是，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前项和.

19. 难度：中等

已知为坐标原点，定点，动点在抛物线上.

（1）若直线的斜率分别为，求的值；

（2）若直线过点且与圆相交于点，过点.证明：与直线相切.

20. 难度：中等

某区组织群众性登山健身活动，招募了名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况分为六组，其频率分布直方图如图所示，已知之间的志愿者共人.

（1）求和之间的志愿者人数；

（2）组织者从之间的志愿者（其中共有名女教师，其余全为男教师）中随机选取名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为，求随机变量的概率分布列和数学期望.

21. 难度：中等

已知为坐标原点，直线上一点，动点满足：，.

（1）求动点的轨迹的标准方程；

（2）直线与轨迹相交于两点，线段的中点为，射线交轨迹于点，交直线于点.证明：.

22. 难度：中等

某公司研发了两种具有自主知识产权的操作系统，分别命名为“天下”、“东方”.这两套操作系统均适用于手机、电脑、车联网、物联网等，且较国际同类操作系统更加流畅.

（1）为了解喜欢“天下”系统是否与性别有关，随机调查了名男用户和名女用户，每位用户对“天下”系统给出喜欢或不喜欢的评价，得到下面列联表：

请问：能否有的把握认为男、女用户对“天下”系统的喜欢有差异？

附：.

（2）该公司选定万名用户对“天下”和“东方”操作系统（以下简称“天下”、“东方”）进行测试，每个用户只能从“天下”或“东方”中选择一个使用，每经过一个月后就给用户一次重新选择“天下”或“东方”的机会.这个月选择“天下”的用户在下个月选择“天下”的概率均为，选择“东方”的概率均为，；这个月选择“东方”的用户在下个月选择“天下”的概率均为，选择“东方”的概率均为，.记表示第个月用户选择“天下”的概率，已知，，，，.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）证明：数列（）为等比数列；

（ⅲ）预测选择“天下”操作系统的用户数量不超过多少万人.（精确到1万）