2019届陕西省西安市高三上学期第五次考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，为自然数集，则中元素的个数为（     ）

A.2 B.3 C.4 D.5

2. 难度：简单

复数满足，则复数的共轭复数是（      ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则（      ）

A. B. C.28 D.24

4. 难度：简单

在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（      ）

A.20 B.21 C.22 D.23

5. 难度：中等

已知，则（  ）

A. B. C.-3 D.3

6. 难度：简单

已知函数，则（      ）

A. B. C.2 D.

7. 难度：中等

在正方形中，棱，的中点分别为，，则直线EF与平面所成角的余弦值为（      ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

为得到函数的图像，可将函数的图像（      ）

A.向左平移个单位 B.向左平移个单位

C.向右平移个单位 D.向右平移个单位

9. 难度：简单

如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，，…，.将14次成绩输入程序框图，则输出的结果是（      ）

A.8 B.9 C.10 D.11

10. 难度：中等

已知抛物线交双曲线的渐近线于，两点（异于坐标原点），若双曲线的离心率为，的面积为32，则抛物线的焦点为（   ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自2019年3月18日至2020年3月13日在相关区域实施工作日机动车尾号限行交通管理措施.已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C 两辆车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（      ）

A.今天是周四 B.今天是周六 C.A车周三限行 D.C车周五限行

12. 难度：中等

已知函数，若存在互不相等的实数，，，，满足，则（     ）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题

13. 难度：简单

在代数式的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）

14. 难度：简单

若满足约束条件 则 的最小值为_______．

15. 难度：中等

已知三棱锥A-BCD内接于球O，，，则球O的表面积为________.

16. 难度：中等

已知函数（）为奇函数，，若函数与图像的交点为，，…，，则=________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角 A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若，，求的面积.

18. 难度：中等

“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）；

（Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；

（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

19. 难度：中等

已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求证：BD⊥AE

（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

20. 难度：中等

已知点M，N分别是椭圆C：（）的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C相交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求面积的取值范围.

21. 难度：困难

已知函数.

（Ⅰ）求证：函数有唯一零点；

（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为（t为参数），直线l₂的参数方程为.设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l₃与C的交点，求M的极径.

23. 难度：困难

已知，且．

（1）求证：；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．