上海市五校2017届高三上学期12月联考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

和的等比中项是          .

2. 难度：中等

设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．

3. 难度：中等

已知函数是偶函数，且，则______.

4. 难度：中等

各项均为正数的等比数列，若，则的最大值是__________________.

5. 难度：中等

已知向量与的夹角是60°，，则在方向上的投影是__________________.

6. 难度：简单

若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为        ．

7. 难度：简单

已知某等腰三角形底角的正弦值是，则顶角的余弦值是__________________.

8. 难度：简单

如果用反证法证明“数列{a_n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a_n}的各项均大于2；②数列{a_n}的各项均大于或等于2；③数列{a_n}中存在一项a_k，a_k≥2；④数列{a_n}中存在一项a_k，a_k＞2；其中正确的序号为______.（填写出所有假设正确的序号）

9. 难度：简单

在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.

10. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，直线AC₁与平面BCC₁B₁所成角的大小是30°，则该四棱柱的外接球表面积大小是__________________.

11. 难度：中等

若函数在时取得最小值，则实数的取值范围是______；

12. 难度：中等

如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

13. 难度：困难

已知函数部分图像如图所示，且，对不同的 ，若，有，则__________________.

14. 难度：困难

如果一个实数数列满足条件：(为常数，，则这一数列为“伪等差数列”，称“伪公差”.给出下列关于某个伪等差数列的结论：其中正确的结论是__________________.

①对于任意的首项，若，则这一数列必为有穷数列；

②当时，这一数列必为单调递増数列；

③这一数列可以是周期数列；

④若这一数列的首项为1，伪公差为3，可以是这一数列中的一项.

二、单选题

15. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：简单

已知，则“”是“”的（          ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）

A. B. C. D.0

18. 难度：中等

定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”.有下列关于—伴随函数”的结论：

①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；②“—伴随函数”至少有一个零点；

③是一个—伴随函数”；其中正确的是（    ）

A.① B.② C.③

三、解答题

19. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AC=2AB，M是CC₁的中点，N是棱AC上的点，且异面直线A₁N与BM所成角大小为90°，,求三棱锥的体积.

20. 难度：中等

如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴交于点A，点B、P在单位圆上，且，

（1）求的值；

（2）若四边形OAQP是平行四边形，设，点，且，求关于的函数的解析式，并求单调増区间.

21. 难度：困难

已知函数

（1）若关于x的不等式的解集为，求的值；

（2）记不等式的解集为A，若时，恒有成立，求实数a的取值范围.

22. 难度：困难

已知函数定义域是，且，当时，

（1）证明：为奇函数；

（2）求在上的表达式；

（3）是否存在正整数，使得时，有解，求出的值；若不存在，说明理由.

23. 难度：困难

（已知数列{}满足：，为数列的前项和．

（1） 若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2） 若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式；

（3） 若，对于给定的正整数，是否存在一个满足条件的数列，使得，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．