上海市2019-2020学年高二上学期（9月）初态考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则_________.

2. 难度：简单

函数的反函数是__________

3. 难度：简单

函数的定义域是__________.

4. 难度：简单

已知向量、满足，则、的夹角为__________.

5. 难度：简单

已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为__________.

6. 难度：中等

从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为__________.

7. 难度：中等

已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为__________．

8. 难度：中等

在中，，，则面积为__________.

9. 难度：中等

若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为________

10. 难度：中等

如图，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙船在最后面的点处，且，一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，，则此时无人机到甲、丙两船的距离之比为__________.（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）

11. 难度：中等

若数列通项公式是，前项和为，则______.

12. 难度：中等

函数的值域为________.

二、单选题

13. 难度：简单

设命题甲“”,命题乙“”，那么甲是乙的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

14. 难度：简单

设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

15. 难度：简单

若，则三角形ABC必定是（    ）三角形

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰直角

16. 难度：中等

在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）.

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

已知（为常数），且方程有两个实根为，.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，解关于的不等式：.

18. 难度：中等

已知：是同一平面内的两个向量，其中

（1）若，且与垂直，求与的夹角；

（2）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

19. 难度：中等

设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.

20. 难度：困难

设轴、轴正方向的单位向量分别为，坐标平面上的点满足条件：，.

（1）若数列的前项和为，且，求数列的通项公式.

（2）求向量的坐标，若的面积构成数列，写出数列的通项公式.

（3）若，指出为何值时，取得最大值，并说明理由.

21. 难度：困难

对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减;②存在常数，使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.

（1）求证：函数不是函数的“渐近函数”；

（2）判断函数是不是函数，的“渐近函数”，并说明理由；

（3）若函数，，，求证：是函数的“渐近函数”充要条件是.