2020届湖南省长沙市高三月考（三）数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,集合,则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数,则在复平面内满足的复数有(    )

A.个 B.个 C.个 D.个

3. 难度：中等

已知正实数满足，，则（   ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知，不等式，，，…，可推广为 ，则的值为(　　)

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知函数的部分图象如图所示.则将的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为(    )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

在中,则在方向上的投影为（    ）．

A.4 B.3 C.-4 D.5

8. 难度：中等

已知实数,满足约束条件,则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

等差数列中,为其前项和,已知,且,则等于(    )

A. B. C. D.

10. 难度：中等

某小学班级星期一要排5节课,语文、数学、英语、音乐、体育各1节,考虑到学生学习的效果,第一节不排数学,语文和英语相邻,且音乐和体育不相邻,则不同的排课方式有(   )

A.种 B.种 C.种 D.种

11. 难度：中等

已知函数，给出下列四个命题：

①函数的图象关于直线对称；

②函数 在区间上单调递增；

③函数 的最小正周期为；

④函数 的值域为．

其中真命题的个数是（    ）．

A.  B.  C.  D.

12. 难度：困难

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线面出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条弧均为圆弧，则该几何体的体积为（  ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若函数在区间内不单调，则实数m的取值范围是______

14. 难度：简单

已知实数三个数成等比数列，它们的和是，积是，那么这个数列的公比_____.

15. 难度：中等

设正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为________.

16. 难度：中等

设,则________.

三、解答题

17. 难度：中等

在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．

(1)求AD的长；

(2)求△CBD的面积．

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小.

19. 难度：简单

十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植脐橙，并利用互联网电商进行销售，为了提高销量，现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量（单位克）分布在区间［200，500内，由统计的质量数据作出频率分布直方图如图所示.

（1）按分层抽样的方法从质量在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率；

（2）以各组数据的中间数值代替这组数据的平均值，以频率代替概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有脐橙均以7元/千克收购；

B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益较好的方案.

20. 难度：困难

在中，，且边上的中线长为，

(1)求角的大小；

(2)求的面积.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；

（3）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.

22. 难度：困难

在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交于，两点.

（1）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；

（2）设定点，求.

23. 难度：中等

已知函数,.

（1）当时,求的解集;

（2）若的解集包含集合,求实数的取值范围.