2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

计算________.

2. 难度：简单

在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.

3. 难度：简单

若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____.

4. 难度：简单

若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.

5. 难度：简单

设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个.

6. 难度：简单

设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.

7. 难度：简单

如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.

8. 难度：简单

三倍角的正切公式为________.（用表示）

9. 难度：中等

设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.

10. 难度：简单

现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：.则________.（请保留两位小数）

11. 难度：中等

设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为________.

12. 难度：简单

设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.

二、单选题

13. 难度：简单

“三个实数成等差数列”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14. 难度：简单

设，若复数是纯虚数，则点一定满足（    ）

A. B. C. D.

15. 难度：简单

若展开，则展开式中的系数等于（    ）

A.在中所有任取两个不同的数的乘积之和 B.在中所有任取三个不同的数的乘积之和 C.在中所有任取四个不同的数的乘积之和              D.以上结论都不对

16. 难度：简单

某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（    ）

A.265米 B.279米 C.292米 D.306米

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在正六棱锥中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为.

（1）求该六棱锥的体积；

（2）求证：

18. 难度：中等

请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

19. 难度：中等

设是等差数列，公差为，前项和为.

（1）设，，求的最大值.

（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.

20. 难度：中等

已知抛物线Γ的准线方程为.焦点为.

（1）求证：抛物线Γ上任意一点的坐标都满足方程：

（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；

（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.

21. 难度：中等

现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”

（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明

（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减

（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论