2020届山西省高三2月开学模拟（网络考试）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知直线分别在两个不同的平面内，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

已知向量不共线，若，则实数（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

函数的最小值是（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

5. 难度：简单

已知是方程的两根，则的值是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

对于函数的图象，下列说法正确的是（    ）

A.关于点对称 B.关于点对称

C.关于直线对称 D.关于直线对称

7. 难度：简单

设为抛物线的焦点，过的直线与相交于两点，的中点在直线上，则直线的方程为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

执行如图所示的程序框图（其中表示除以后所得的余数），则输出的的值是 （    ）

A.78 B.79 C.80 D.81

9. 难度：中等

某部门共有4名员工， 某次活动期间， 周六、 周日的上午、 下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工， 则该活动值班岗位的不同安排方式共有（    ）

A.120种 B.132种 C.144种 D.156种

10. 难度：简单

将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意实数成立，则实数的最小值为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

设分别为双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线的右支相交于两点，与的渐近线相交于四点，若四边形的面积与四边形的面积相等，双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

对任意实数的最小值是（    ）

A. B. C. D.1

二、填空题

13. 难度：简单

复数（其中为虚数单位）的共轭复数为___________.

14. 难度：简单

某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到表：

分数段
人数	5	15	20	10

将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________．

15. 难度：中等

已知直角三角形 两直角边长之和为3，将绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________.

16. 难度：简单

已知变量的取值完全由变量的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好四个变量的取值，然后记录相应的变量的值，得到表：

试验编号
①	1	1	1	1	4
②	1	1	1	2	2
③	1	1	2	2	1
④	0	2	2	2	1

则关于的表达式可能是______________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知是正项数列的前项和，且对任意，均有.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

18. 难度：中等

已知分别为椭圆的左右顶点，为上异于的点，且直线与的斜率乘积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的上顶点，为的右焦点，的面积为1，求直线的方程.

19. 难度：中等

如图，三棱柱中，，.

（1）证明：；

（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

某人某天的工作是：驾车从地出发，到两地办事，最后返回地，三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：

路段	正常行驶所需时间（小时）	上午降水概率	下午降水概率
	2	0.3	0.6
	2	0.2	0.7
	3	0.3	0.9

若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案：

方案甲：上午从地出发到地办事，然后到达地，下午在地办事后返回地；

方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地， 办事后返回地.

（1）设此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；

（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？

21. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）；

（2）证明：当时，.

22. 难度：中等

在极坐标系中，直线的方程分别为，曲线.

以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.

（1）将直线的方程与曲线的方程化成直角坐标方程；

（2）过曲线上动点作直线的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.

23. 难度：中等

已知，且，求证：

（1）；

（2）