2020届北京市高三下学期开学测试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集，集合，，则集合（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若（表示虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：中等

点关于直线对称的点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）

A.27 B.30 C.32 D.36

5. 难度：简单

已知向量与的夹角为30°，且，，则等于（    ）

A.1 B. C.13 D.

6. 难度：中等

设，则 （ ）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：中等

“”是“方程表示双曲线”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(  )(注：1丈尺寸，，)

A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸

9. 难度：困难

已知函数则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知集合，集合，，满足.

①每个集合都恰有5个元素

②

集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

若，则__________(用数字作答)．

12. 难度：中等

若数列满足：，则___________.

13. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，则________，

过点向其准线作垂线，记与抛物线的交点为，则_____.

14. 难度：中等

设当时，函数取得最大值，则______.

15. 难度：困难

数列满足：，给出下述命题：

①若数列满足：，则成立；

②存在常数，使得成立；

③若，则；

④存在常数，使得都成立．

上述命题正确的是____．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

在中，角所对的边分别为且满足

（1）求角的大小；

（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

17. 难度：中等

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

18. 难度：中等

如图，在菱形中，，是的中点，平面，且在矩形中，，.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的大小.

19. 难度：中等

已知函数．

(1)若,求函数的单调区间;

(2)若对恒成立,求的取值范围．

20. 难度：困难

已知椭圆的短轴长为2，离心率，

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点，

①证明：（其中为坐标原点）；

②设，求实数的取值范围..

21. 难度：困难

各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：

① ；② ；③是的因数（）．

（1）当时，写出数列的前五项；

（2）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；

（3）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．