2019届湖南省长沙市高三上学期入学考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

，，，，构成等比数列，则(    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设，是非零向量，则“”是“”的(    )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知等差数列前9项的和为27，，则

A.100 B.99 C.98 D.97

5. 难度：中等

正项等比数列 中， ，则的前项和 （   ）

A. B. C. D.

6. 难度：困难

中，，，，则的值为(    )

A. B. C. D.

7. 难度：简单

的内角，，所对的边分别为，，，，，，则（   ）

A. B. C.或 D.或

8. 难度：中等

已知定义在上的奇函数满足：当时，．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是(   )

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

函数的图象如图所示，则(    )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）.第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件.要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设函数有两个极值点，，且，则的取值范围是(    )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，为单位向量.若与垂直，与的夹角是钝角，则向量的坐标为_____________.

14. 难度：简单

函数在的零点个数为________．

15. 难度：中等

如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________.

16. 难度：困难

数列满足，，则的整数部分是___________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知分别是角的对边，满足

（1）求的值；

（2）的外接圆为圆(在内部)，，判断的形状，并说明理由.

18. 难度：中等

设数列的前n项和为.已知.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.

19. 难度：中等

已知定义在的函数，其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ）判断奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

20. 难度：中等

某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：

包裹重量（单位：kg）	1	2	3	4	5
包裹件数	43	30	15	8	4

公司对近60天，每天揽件数量统计如表：

包裹件数范围	0～100	101～200	201～300	301～400	401～500
包裹件数（近似处理）	50	150	250	350	450
天数	6	6	30	12	6

以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．

（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；

（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；

②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？

21. 难度：困难

已知函数，，（为自然对数的底数）.

（1）若不等式对于一切恒成立，求a的最小值；

（2）若对任意的，在上总存在两个不同的，使成立，求a的取值范围.

22. 难度：简单

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的普通方程；

（2）经过点（平面直角坐标系中点）作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的中点，求直线的斜率.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式.

（1）当时，求该不等式的解集；

（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围.