湖南省永州市2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知数列的通项公式为，则（    ）

A.-1 B.3 C.7 D.9

2. 难度：简单

已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（    ）

A.， B.，

C.， D.，

3. 难度：简单

以为焦点的抛物线的标准方程是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

下列命题正确的是（    ）

A.进制转换：

B.已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3

C.“若，则方程”的逆命题为真命题

D.若命题：，，则：，

5. 难度：简单

“”是 “”的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

执行如图程序框图，若输入的，分别为12，20，则输出的（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

8. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域为，若直线的图象经过区域，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知曲线：经过点，则的最小值为（    ）

A.10 B.9 C.6 D.4

10. 难度：中等

已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，点在上，且，则异面直线与所成角为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

等比数列的前项和为，已知，，则（    ）

A.270 B.150 C.80 D.70

12. 难度：困难

已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，若且的周长为，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

一个总体有200个个体，利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则分组间隔为___________.

14. 难度：简单

某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为千米，那么___________千米.

15. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交拋物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点坐标为时，为正三角形，则______.

16. 难度：困难

如图所示的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列.在此表中，数字“121”出现的次数为___________.

2	3	4	5	6	7	……
3	5	7	9	11	13	……
4	7	10	13	16	19	……
5	9	13	17	21	25	……
6	11	16	21	26	31	……
7	13	19	25	31	37	……
……	……	……	……	……	……	……

三、解答题

17. 难度：简单

已知命题：方程有实数解，命题：，.

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.

18. 难度：简单

在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

19. 难度：中等

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占.

一次购物量	1至3件	4至7件	8至11件	12至15件	16件及以上
顾客数（人）		27	20		10
结算时间（/人）	0.5	1	1.5	2	2.5

（1）确定，的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）从收集的结算时间不超过的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为的概率.（注：将频率视为概率）

20. 难度：中等

设是数列的前项的和，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求使时的最小值.

21. 难度：中等

如图，在多面体中，底面为菱形，底面，.

（1）证明：平面；

（2）若，，当长为多少时，平面平面.

22. 难度：困难

已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.

（1）求椭圆方程；

（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0.

①求证：直线经过定点，并求出定点坐标；

②求面积的最大值.