2019届湖南长沙市高三月考试卷（三）数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

集合，若，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则 

A.， B.，

C.， D.，

3. 难度：简单

若实数满足（为虚数单位），则（    ）

A.1 B. C. D.2

4. 难度：简单

如图，为圆的一条弦，且，则  

A.4 B.-4 C.8 D.-8

5. 难度：简单

已知椭圆的上焦点为，则（    ）

A.3 B. C. D.5

6. 难度：简单

已知，，成等差数列，，，成等比数列，则的值为（    ）

A. B. C.2 D.

7. 难度：中等

如图，矩形内的黑色图形来自中国清朝时期的天平的铜砝码，其中，，，是线段的两个三等分点，，是线段的两个三等分点（图中圆弧近似地看作半圆）.在矩形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

函数（其中为自然对数的底数）的图象大致是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点.给出以下命题：

①；②；③平面平面；④平面平面.

其中正确命题的个数为（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的是，则输入整数的最小值为（    ）

A.15 B.16 C.31 D.32

11. 难度：中等

设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知点是双曲线的右焦点，是的左支上一点，，当周长最小时，则与双曲线共焦点，且过点的椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

函数（其中为自然对数的底数）的图象在点处的切线方程为___________.

14. 难度：中等

数列的通项是，其前项和记为，则_________.

15. 难度：中等

已知点是球表面上的点，球的体积为，平面，四边形是边长为2的正方形，则四棱锥的表面积为_________.

16. 难度：困难

已知实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是____________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

18. 难度：困难

正四棱柱中，底面的边长为1，为正方形的中心.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线与所成的角的正弦值为，求直线到平面的距离.

19. 难度：中等

某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．

（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：

周光照量（单位：小时）
光照控制仪最多可运行台数	3	2	1

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．

附：相关系数公式，参考数据，．

20. 难度：中等

已知抛物线，过点的直线交于，两点，且满足以线段为直径的圆，圆心为，且过坐标原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若圆过点，求直线的方程和圆的方程.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在（为自然对数的底数）上的最大值为，试求实数的值.

22. 难度：困难

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，过点且与垂直的直线交于点，求的最小值，并求此时点的直角坐标.

23. 难度：中等

已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集不为空集，求实数的取值范围.