2020届江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则________.

2. 难度：简单

已知i是虚数单位，复数的虚部为3，则实数b的值为________.

3. 难度：简单

从2名男生和l名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________.

4. 难度：简单

为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在之间通过的车辆数是440辆，则在之间通过的车辆数是________.

5. 难度：简单

如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为________.

6. 难度：中等

已知等比数列中，，则“”是“”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）

7. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，已知点，是双曲线的左、右焦点，点P的坐标为，若，则该双曲线的离心率为________.

8. 难度：简单

若x，y满足约束条件，则的最大值为________.

9. 难度：中等

如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该冰淇淋的体积是________.

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在点P，使得过点P向圆作切线PA（切点为A），满足，则实数m的取值范围为________.

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.

12. 难度：中等

如图，在平面四边形ABCD中，己知AD=3，，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为________.

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的最小值为________.

14. 难度：困难

已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.

二、解答题

15. 难度：中等

己知向量，.

（1）当时，求的值；

（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.

16. 难度：中等

如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求证：.

17. 难度：中等

为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB中，，（百米），荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在上（C与A，B不重合），在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区.设，蜂巢区的面积为S（平方百米）.

（1）求S关于的函数关系式；

（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值.

18. 难度：困难

如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；

（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.

19. 难度：中等

已知数列满足，，其中是数列的前n项和.

（1）求和的值及数列的通项公式；

（2）设.

①若，求k的值；

②求证：数列（中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；

（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足.