2020届上海市宝山区高三一模数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若（是虚数单位），则________．

2. 难度：简单

已知，则________

3. 难度：简单

函数（）的反函数是________

4. 难度：简单

年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛.

5. 难度：简单

以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________

6. 难度：简单

在的展开式中，的系数为________

7. 难度：中等

不等式的解集是________

8. 难度：中等

已知方程（）的两个虚根为、，若，则_____

9. 难度：简单

已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__

10. 难度：简单

有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是________（钢的密度为7.9，精确到0.1）

11. 难度：中等

已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则_______

12. 难度：中等

已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为________

二、单选题

13. 难度：中等

若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

14. 难度：中等

下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A. B.

C. D.

15. 难度：简单

已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（  ）

A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面

16. 难度：中等

提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是（    ）

A.当，时，辅助角

B.当，时，辅助角

C.当，时，辅助角

D.当，时，辅助角

三、解答题

17. 难度：中等

在直四棱柱中，底面四边形是边长为2的菱形，，，是的中点.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线和所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

18. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的最小正周期及对称中心；

（2）若在区间上有两个解、，求的取值范围及的值.

19. 难度：中等

一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.

（1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）

（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）

20. 难度：困难

已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.

（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；

（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；

（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.

21. 难度：困难

已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令（）.

（1）证明：；

（2）证明：是等比数列，且的通项公式是；

（3）是否存在常数，对任意自然数均有成立？若存在，求的取值范围，否则，说明理由.