2019届湖南省长沙市高三上学期入学考试数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，，，则下列结论正确的是(    )

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知复数（i为虚数单位），则z等于（ ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（ ）

A.1 B. C. D.

4. 难度：简单

若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为(    )

A. B. C. D.

5. 难度：中等

若a＞b＞0，0＜c＜1，则

A. log_ac＜log_bc B. log_ca＜log_cb C. a^c＜b^c  D. c^a＞c^b

6. 难度：简单

函数的图象的一条对称轴方程为(    )

A. B. C. D.

7. 难度：简单

中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于里（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知是定义域为的奇函数，且，则(    )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A. B. C. D.

10. 难度：简单

设点是不等式组 ，表示的平面区域内的一点，点在直线上，则的最小值等于(    )

A. B. C. D.

11. 难度：简单

已知正三棱锥的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积是(    )

A. B. C. D.

12. 难度：中等

在中，角，，的对边分别为，，，且，若，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，，且与的夹角为，则________________.

14. 难度：简单

如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_________________.

15. 难度：简单

设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，且，则直线的方程为___________________.

16. 难度：中等

函数与的图象所有交点的横坐标之和为______________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前项和为，且，，，为等比数列.

（1）求证：是等差数列；

（2）求数列的前项和.

18. 难度：简单

《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：

月份
不“礼让斑马线”驾驶员人数

（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；

（2）若从表中月份和月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，再从这人中任选人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.

参考公式：，.

参考数据：.

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，为边的中点，点在线段上.

（1）证明：平面平面；

（2）若，平面，求四棱锥的体积.

20. 难度：困难

如图，椭圆的左右顶点分别为，，离心率.，，为椭圆上非顶点的三点.设直线，的斜率分别为，.

（1）求椭圆的方程，并求的值；

（2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

21. 难度：中等

设函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

23. 难度：中等

已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.