2020届广东省广州市高三2月月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数满足，其中为虚数单位，则（   ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第天织了五尺，一个月（按天计算）共织九匹三丈（一匹四丈，一丈十尺），则该女子第天比第天多织布的尺数为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是（  ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

如图，一个半圆柱内部截去某几何体后得到一个新几何体，其三视图如图所示，则该新几何体的体积为（    ）

正视图　侧视图　　俯视图　

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若的展开式中常数项等于，则（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图为函数的图象，则该函数可能为

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

已知函数，直线与曲线相切，则（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

9. 难度：中等

某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x_i和10个在区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．

x	2.50	1.01	1.90	1.22	2.52	2.17	1.89	1.96	1.36	2.22
y	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.60	0.59	0.88	0.84	0.10
lnx	0.90	0.01	0.64	0.20	0.92	0.77	0.64	0.67	0.31	0.80

由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（    ）

A.1 B. C. D.2

11. 难度：困难

设函数，函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，，若，则________．

14. 难度：简单

由方程确定曲线所围成的区域的面积是________．

15. 难度：困难

在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，

在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________.

16. 难度：中等

有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数M，那么________．

三、解答题

17. 难度：困难

在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求中线的最大值.

18. 难度：中等

如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．

（1）求证：平面ABC；

（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：困难

椭圆经过点,且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：困难

山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.

举例说明.

某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学科的转换等级分为，，求得.

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.

（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；

（ii）求物理原始分在区间的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.

（附：若随机变量，则，，）

21. 难度：困难

已知函数，其中a为非零常数．

讨论的极值点个数，并说明理由；

若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．

22. 难度：中等

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于，两点.

（1）当时，求的长度；

（2）求的取值范围.

23. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.