上海市2017届高三上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知，则________.

2. 难度：简单

双曲线的实轴长为________

3. 难度：简单

集合，为虚数单位，，，则复数________.

4. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

5. 难度：简单

投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________.

6. 难度：简单

已知函数的图象与它的反函数的图象重合，则实数________.

7. 难度：简单

设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为______．

8. 难度：简单

若是展开式中项的系数，

则         ．

9. 难度：中等

在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为________．

10. 难度：中等

给出下列命题:① 是幂函数；② 函数的零点有且只有1个；③ 的解集为；④“”是“”的充分非必要条件；⑤ 数列的前项和为，且，则为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.

11. 难度：中等

矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，若曲线在矩阵的作用下变换成曲线，则________.

12. 难度：困难

已知函数的最小值大于5，则的取值范围是________.

二、单选题

13. 难度：中等

若，，则（     ）

A. B. C. D.

14. 难度：简单

圆的圆心到直线的距离为1，则（   ）

A. B. C. D.2

15. 难度：简单

是两个平面，是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是(    )

A.若，，∥，则

B.若，∥，则

C.若∥，，则∥

D.若∥，∥，则与所成的角和与所成的角相等

16. 难度：简单

在中，若    ，则=（      ）

A.1 B.2         C.3 D.4

17. 难度：中等

设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为(    )

A. B. C. D.1

18. 难度：中等

如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为（），若从平行移动到，则的图象大致是（   ）

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

如图，内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，平面，，已知与平面所成的角为，且；

（1）求证:平面平面；

（2）记，表示三棱锥的体积，求的表达式及最大值；

20. 难度：中等

某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元；

（1）求的通项公式；

（2）当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?

21. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.

（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.

22. 难度：中等

已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．

（ⅰ）求函数的解析式；  （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．

23. 难度：困难

已知函数在区间上的最大值为9，最小值为1，记；

（1）求实数､的值；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围；

（3）定义在上的函数，设，其中､､､将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试判断函数是否为在上的有界变差函数?若是，求的最小值；若不是，请说明理由.