2019届北京市高三下学期月考（5月）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，则

A. B. C. D.

2. 难度：中等

若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（   ）

A. B.（1,8） C.（4,8） D.

3. 难度：困难

设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（   ）

A. B.

C. D.

4. 难度：中等

的展开式中的系数为

A. B. C. D.

5. 难度：中等

大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为　　

A. 200 B. 162 C. 144 D. 128

6. 难度：简单

如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是(  )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知定义在上的连续可导函数无极值，且，若在上与函数的单调性相同，则实数的取值范围是(    )

A. B.

C. D.

8. 难度：困难

已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为3，，，分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍，则平面截球所得截面的面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：中等

已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.

10. 难度：中等

若整数满足不等式组，则的最小值为_______.

11. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值

12. 难度：困难

已知双曲线，圆.若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最大值时，的实轴长为__________．

13. 难度：中等

已知的解集为[m，n]，则m+n的值为______．

14. 难度：中等

网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从年月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．

三、解答题

15. 难度：中等

数列{a_n}首项a₁＝1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n＝

（1）求证：数列{}是等差数列

（2）求数列{a_n}的通项公式

（3）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）…（1+S_n）≥k对于一切n∈N^*都成立，求k的最大值．

16. 难度：中等

已知△ABC的三个内角△ABC所对的边分别为a，b，c，向量，，且

（1）求角A的大小；

（2）若BC＝，试求△ABC面积的最大值及此时△ABC的形状．

17. 难度：中等

某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．

（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？

（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．

18. 难度：中等

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．

（1）求BM的长；

（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的左右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，离心率为，的面积为．

求椭圆C的标准方程；

过的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，求内切圆半径的最大值．

20. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.