2020届江苏省苏州市张家港市高三阶段性调研测试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合则集合________.

2. 难度：简单

若复数满足（为虚数单位），则____________．

3. 难度：简单

如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是__________．

4. 难度：简单

小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．

5. 难度：简单

设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．

6. 难度：简单

已知正项等差数列的前项和为，，则________．

7. 难度：中等

已知向量，，若，则的值为______．

8. 难度：中等

在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，，则该三棱锥的体积为_______．

9. 难度：中等

已知函数的图象与函数的图象交于点，，点为坐标原点，则的面积为______．

10. 难度：中等

已知圆C：上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是_______．

11. 难度：中等

已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则____．

12. 难度：中等

已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的最小值是______．

13. 难度：困难

已知函数，若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是____．

14. 难度：困难

已知，，，则的最小值为______．

二、解答题

15. 难度：简单

在中，角的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若是边上一点，，，，求的长．

16. 难度：中等

如图在直三棱柱中，，，为的中点．

求证：（1）平面；

（2）．

17. 难度：中等

已知椭圆的长轴的长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知菱形的顶点，在椭圆上，对角线所在直线的方程为，求直线的方程．

18. 难度：困难

如图，某市建有贯穿东西和南北的两条垂直公路，，在它们交叉路口点处的东北方向建有一个荷花池，荷花池的外围是一条环形公路，荷花池中的固定观景台位于两条垂直公路的角平分线上，与环形公路的交点记作．游客游览荷花池时，需沿公路先到达环形公路处.为了分流游客，方便游客游览荷花池，计划从靠近公路，的环形公路上选，两处（，关于直线对称）修建直达观景台的玻璃栈道，．以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，靠近公路，的环形公路可用曲线近似表示，曲线符合函数．

（1）若百米，点到的垂直距离为1百米，求玻璃栈道的总长度；

（2）若要使得玻璃栈道的总长度最小为百米，求观景台的位置．

19. 难度：困难

已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求实数的最大值；

（3）当时，求函数的零点个数．

20. 难度：困难

已知正项数列满足：，，其中．

（1）若，求数列的前项的和；

（2）若，．

①求数列的通项公式；

②记数列的前项的和为，若无穷项等比数列始终满足，求数列的通项公式．