2019届北京市高三下学期三模数学（理科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，那么(   )

A. B.

C. D.

2. 难度：中等

若复数满足，则等于（ ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（　　）

A.5 B.6 C.7 D.8

4. 难度：中等

设满足约束条件则下列不等式恒成立的是

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

为非零向量，“”为“共线”的（）

A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

6. 难度：简单

一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）

A.12种 B.15种 C.17种 D.19种

7. 难度：中等

已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值是(    )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.

11. 难度：简单

已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.

12. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.

13. 难度：简单

写出一组使“”为假命题的一组x，y________.

14. 难度：中等

血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）

①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；

②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______

三、解答题

15. 难度：中等

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和的值.

16. 难度：简单

2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.

A组：128，100，151，125，120

B组：100，102，96，101，

己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.

（1）求a的值；

（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；

（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.

（1）求证：平面PDC.

（2）请在图中所给的五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.

（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

18. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．

（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．

19. 难度：中等

已知函数.

（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）证明：，，使得.

20. 难度：困难

数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中 且两两不相等．

(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)记．若，证明：；

(Ⅲ)若，求的最小值.