2019届湖南长沙市高三月考试卷（二）数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,则

A. B. C. D.

2. 难度：简单

在某次测量中得到的样本数据如下:.若样本数据恰好是样本数据每个都加后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（    ）

A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差

3. 难度：简单

复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

下图是证明勾股定理的一种方法所构造的图形，分别以直角三角形的三条边长构造正方形.若直角三角形中较小的锐角，则在该图形区域内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

正方体中，，则异面直线与所成角的正切值等于（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

函数在区间内的图像大致为（ ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”和“”中应填入的执行语句分别是                                                （）

A.和 B.和

C.和 D.和

11. 难度：困难

在中，内角所对的边分别为，已知，是线段上一点，且，则（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且直线的倾斜角，点在轴上方，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若，则m=_________.

14. 难度：中等

经过原点与曲线相切的切线方程为__________．

15. 难度：简单

若，则______．

16. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知是公差为的等差数列，数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和.

18. 难度：中等

如图，已知平行四边形和矩形所在平面垂直，其中为棱的中点，为的中点.

（1）求证:；

（2）若点到平面的距离是，求多面体的体积.

19. 难度：中等

甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖(长和宽都约为) ，根据产品出厂检测结果，每片瓷砖质量(单位:)在之间的称为正品，其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷

砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准，主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分，每片价格分别为元、元、元.若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为，设矩形瓷砖的长与宽分别为(单位:) ，则“尺寸误差”为，“优等”瓷砖的“尺寸误差”范围是，“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是，“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是.现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:

(甲厂产品的“尺寸误差”频数表)

尺寸误差	频数

(乙厂产品的“尺寸误差”柱状图)

（1）根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值；

（2）若用这个样本的频率分布估计总体分布，求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格；

（3）现用分层抽样的方法从甲厂生产的片样本瓷砖中随机抽取片，再从抽取的片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选.取片进一步分析其“平整度”，求这片瓷砖的价格之和大于元的概率.

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为为其左、右顶点，为椭圆上除外任意一点，若记直线的斜率分别为

（1）求证:为定值；

（2）若椭圆的长轴长为，过点作两条互相垂直的直线，，若恰好为与椭圆相交的弦的中点，设为与椭圆相交的弦的中点，求线段的长.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，，其中)，曲线的方程为，已知与相交于两点.

（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线与的极坐标方程；

（2）当取得最大值时，求两点的极坐标.

23. 难度：中等

已知函数，.

（1）解不等式；

（2）若对任意实数，，使，求实数a的取值范围.