北京市2017-2018学年下学期高二期末考试数学（理科）试卷

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合，集合是集合S的一个含有8个元素的子集.

（1）当时，设，

①写出方程的解（）；

②若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；

（2）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.

二、单选题

2. 难度：中等

设复数满足，则（  ）

A.  B.

C.  D. 2

3. 难度：简单

曲线的参数方程为，则曲线是（    ）

A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线

4. 难度：简单

如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A. B. C. D.

5. 难度：简单

函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．

A.无极大值点，有四个极小值点

B.有三个极大值点，两个极小值点

C.有两个极大值点，两个极小值点

D.有四个极大值点，无极小值点

6. 难度：简单

一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）

A.12种 B.15种 C.17种 D.19种

7. 难度：中等

已知随机变量满足P（=1）=p_i，P（=0）=1—p_i，i=1，2.若0<p₁<p₂<，则

A.<，< B.<，>

C.>，< D.>，>

8. 难度：中等

在下列命题中，

①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是；

②的展开式中的常数项为2；

③设随机变量，若，则.

其中所有正确命题的序号是（    ）

A.② B.①③

C.②③ D.①②③

9. 难度：中等

已知函数，，若成立，则的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

三、填空题

10. 难度：简单

在极坐标系中，曲线和相交于点A，B，则线段AB的中点E到极点的距离是______.

11. 难度：简单

用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是_______.（用数字作答）

12. 难度：简单

若，，则=______；_______.（用数字作答）

13. 难度：中等

甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.

14. 难度：中等

定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是    

15. 难度：中等

函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为A与B之间的距离）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则=___________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是___________.

四、解答题

16. 难度：简单

某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核.

（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.求选出的3人中有1位男员工的概率；

（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小.（只需写出结论）

17. 难度：中等

长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长大于21小时，则称为“过度用网”

（1）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；

（2）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；

（3）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望E.

18. 难度：简单

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间.

19. 难度：困难

已知函数，曲线在处的切线与轴平行.

（1）求实数的值；

（2）设，求在区间上的最大值和最小值.

20. 难度：困难

已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.

（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值.