2020届北京市高三开学复习质量检测数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

设为虚数单位，则复数的模（    ）．

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知全集，若集合，则（    ）．

A.或 B.或

C. D.

3. 难度：简单

命题p：x>0，，则是

A.， B.，

C.， D.，

4. 难度：中等

若， 是两个非零的平面向量，则“”是“”的（    ）．

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（   ）

A.最长棱的棱长为

B.最长棱的棱长为

C.侧面四个三角形都是直角三角形

D.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形

7. 难度：中等

已知函数f(x)＝|ln x|－1，g(x)＝－x²＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数h(x)的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8. 难度：简单

已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

双曲线的离心率是            ；渐近线方程是            ．

10. 难度：简单

若等比数列满足，且公比，则_____.

11. 难度：中等

在△中，，，，则       ；△的面积为_______．

12. 难度：简单

已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ______.

13. 难度：中等

已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为______.

14. 难度：中等

函数（），已知的最小值为4，则点到直线距离的最小值为______.

三、解答题

15. 难度：中等

设函数（）的图象上相邻最高点与最低点的距离为.

（1）求函数的周期及的值；

（2）求函数的单调递增区间.

16. 难度：中等

某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.

（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？

（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.

用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

17. 难度：中等

在四棱锥中，平面平面PCD，底面ABCD为梯形，，，M为PD的中点，过A，B，M的平面与PC交于N.，，，.

（1）求证：N为PC中点；

（2）求证：平面PCD；

（3）T为PB中点，求二面角的大小.

18. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；

（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．

19. 难度：困难

已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.

20. 难度：困难

定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：

①；②；③，若，则.

则称集合A为“减i集”

（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？

（2）证明：不存在“减2集”；

（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.