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2020届湖南省长沙市高三月考卷(七)理科数学试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

已知全集,则   

A. B. C. D.

 

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2. 难度:简单

已知,则   

A. B. C. D.

 

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3. 难度:简单

函数的图像可能是(    ).

A.  B.

C.  D.

 

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4. 难度:简单

的展开式中,项的系数(   

A.20 B.30 C. D.

 

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5. 难度:简单

2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数使得是素数,素数对称为孪生素数,从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为(   

A. B. C. D.

 

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6. 难度:中等

如图所示的程序框图,则输出的的值分别是(   

A.600 B.1200500300

C.1100400600 D.3005001200

 

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7. 难度:简单

,则

A. B. C. D.

 

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8. 难度:中等

在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为是抛物线上的一点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆的面积为,则   

A.2 B.4 C.6 D.8

 

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9. 难度:简单

在三棱锥中,为等边三角形,的中点,则异面直线所成角的余弦值为

A. B. C. D.

 

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10. 难度:困难

直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上任意一点,若为坐标原点),则下列不等式恒成立的是(   

A. B. C. D.

 

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11. 难度:中等

已知函数,给出下列命题:

,都有成立;

②存在常数恒有成立;

的最大值为

上是增函数.

以上命题中正确的为(   

A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④

 

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12. 难度:困难

已知函数的值域与函数的值域相同,则的取值范围为(   

A. B. C. D.

 

二、填空题
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13. 难度:简单

已知向量,且共线,则实数________

 

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14. 难度:简单

某中学有学生3600名,从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离,其中不超过1公里的学生共有15人,不超过2公里的学生共有45人,由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在公里的学生有_____.

 

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15. 难度:中等

如图所示,在正四棱锥中,底面是边长为4的正方形,分别是的中点,,若在同一球面上,则此球的体积为______.

 

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16. 难度:中等

如图,在中,边上的点,上的点,,则__________.

 

三、解答题
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17. 难度:中等

已知等差数列和递增的等比数列满足:且,

(1)分别求数列的通项公式;

(2)设表示数列的前项和,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.

 

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18. 难度:中等

如图,三棱柱中,.

1)求证:

2)若平面平面,且,求直线与平面所成角的正弦值.

 

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19. 难度:中等

2019年上半年我国多个省市暴发了非洲猪瘟疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅上扬,严重影响了居民的生活.为了解决这个问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;另一方面积极向多个国家开放猪肉进口,扩大肉源,确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势,决定响应政府号召,扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系进行研究.现相关数据统计如下表:

生猪存栏数量(千头)

2

3

4

5

8

头猪每天平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.5

 

1)研究员甲根据以上数据认为具有线性回归关系,请帮他求出关于的线.性回归方程(保留小数点后两位有效数字)

2)研究员乙根据以上数据得出的回归模型:.为了评价两种模型的拟合效果,请完成以下任务:

①完成下表(计算结果精确到0.01元)(备注:称为相应于点的残差);

生猪存栏数量(千头)

2

3

4

5

8

头猪每天平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估计值

 

 

 

 

 

残差

 

 

 

 

 

模型乙

估计值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

残差

0

0

0

0.14

0.1

 

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好.

3)根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元;生猪存栏数量达到1.2万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.(利润=收入-成本)

参考公式:.

参考数据:.

 

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20. 难度:困难

已知两点分别在轴和轴上运动,且,若动点满足.

1)求出动点的轨迹的标准方程;

2)设动直线与曲线有且仅有一个公共点,与圆相交于两点(两点均不在坐标轴上),求直线的斜率之积.

 

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21. 难度:困难

已知函数为常数).

1)讨论函数的单调性;

2)若函数内有极值,试比较的大小,并证明你的结论.

 

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22. 难度:中等

已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数),曲线的方程为.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

1)求直线l和曲线的极坐标方程;

2)曲线分别交直线l和曲线于点AB,求的最大值及相应的值.

 

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23. 难度:中等

已知函数.

1)若,解不等式

2)若不存在实数,使得,求实数的取值范围.

 

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