2020届江苏省百校联考高三上学期第三次考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若，，则下图中阴影表示的集合为______.

2. 难度：简单

已知命题，，则是成立的_______条件.（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）

3. 难度：简单

已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模为______.

4. 难度：简单

设向量，，若，则实数的值为_______.

5. 难度：简单

函数的单调减区间为_____.

6. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，且过点，则双曲线的焦距等于_____.

7. 难度：简单

设变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围为____.

8. 难度：中等

已知函数，则的值为____________．

9. 难度：中等

如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

10. 难度：简单

若将函数图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图像，则的最小值为______.

11. 难度：中等

在中，点为边的中点，且满足，则的最小值为___.

12. 难度：困难

已知函数.若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为____________．

13. 难度：中等

已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，，设，为数列的前项和，则______.

14. 难度：困难

设点，为圆上的两点，为坐标原点，点且，，则面积的最大值为______.

二、解答题

15. 难度：中等

设的内角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求角的大小；

（2）已知，求的值.

16. 难度：中等

如图，在三棱柱中，已知，，为棱的中点，且平面与棱柱的下底面交于.

（1）求证：∥平面.

（2）求证：.

17. 难度：中等

如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒，，组成，三根木棒有相同的端点（粗细忽略不计），且四点在同一平面内，，，木棒可绕点O任意旋转，设BC的中点为D.

（1）当时，求OD的长；

（2）当木棒OC绕点O任意旋转时，求AD的长的范围.

18. 难度：中等

在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.

（1）求圆的方程；

（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.

19. 难度：困难

已知函数，，.

（1）若曲线在处的切线与曲线相切，求的值；

（2）当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围；

（3）若函数恰有2个不相等的零点，求实数的取值范围.

20. 难度：困难

已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.

（1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为.

①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数.

②数列是否具有守恒性质？并说明理由.

（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.

21. 难度：简单

已知线性变换是顺时针方向选择90°的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换对应的矩阵为，列向量.

（1）写出矩阵，；

（2）已知，试求的值.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程和的标准方程；

（2）点分别为曲线，上的动点，当长度最小时，试求点的坐标.

23. 难度：中等

设都是正数，求证：.

24. 难度：中等

在四棱锥中，平面，是正三角形，，.

（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（2）点为线段上的一动点，设异面直线与直线所成角的大小为，当时，试确定点的位置.

25. 难度：中等

在直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为6，点为其准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.

（1）求抛物线的方程；

（2）当点在轴上时，证明:为等腰直角三角形.

（3）证明：为直角三角形.