2020届黑龙江省高三下学期开学考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

给定下列三个命题：

函数（且）在上为增函数；

；

成立的一个充分不必要条件是.

其中的真命题为（  ）

A.  B.

C.  D.

3. 难度：中等

、、表示空间中三条不同的直线，、表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（    ）

A.若，，，则

B.若，，，，则

C.若，，，，，则

D.若，，，，则

4. 难度：简单

已知，为互相垂直的单位向量，若，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

A.  B.

C.  D.

6. 难度：中等

设x,y,z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 难度：简单

在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为(    )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为(    )

A.1 B.2 C.3 D.4

9. 难度：困难

算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（    ）

A.

B.

C.

D.

10. 难度：中等

设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为(    )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在内接于球的四面体中,有,,,若球的最大截面的面积是,则的值为(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

    已知函数 (a∈R),若在x∈(0,1］ 时恒成立,则实数a的取值范围是

A.［,+ ∞） B.[,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞)

二、填空题

13. 难度：简单

若复数在复平面上所对应的点在实轴上，则实数______.

14. 难度：中等

现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，则不同的排法总数为______.

15. 难度：中等

已知直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则______.

16. 难度：困难

观察下面的数表，该表中第6行最后一个数是______；设2016是该表的行第个数，则______.

三、解答题

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．

（1）求直线l及曲线的极坐标方程；

（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.

18. 难度：简单

如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，；

（1）求四棱锥的体积；

（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小．

19. 难度：简单

已知函数（其中）．

（1）若函数的最小正周期为,求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若，，且，求的值．

20. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为，满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

21. 难度：困难

已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别是、，且椭圆上一动点到的最远距离为，过的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当以为直角时，求直线的方程；

（3）直线的斜率存在且不为0时，试问轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

22. 难度：压轴

已知函数，．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）求函数的单调区间；（3）当，且时，证明：．