2020届山西省联盟体高三3月模拟数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,则（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知命题；命题，若为真命题，则实数的取值范围是(    )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知函数，若，则实数的值等于(    )

A. B. C.1 D.3

5. 难度：中等

函数的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

已知是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）

A.  B.  C.  D.

7. 难度：简单

已知，则的值为（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在中，，，分别是角，，的对边，若，，，则的面积为（   ）

A. B.3 C. D.

9. 难度：中等

在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A.  B.  C.  D.

10. 难度：中等

过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（ ）

A.2 B.8 C.4 D.10

11. 难度：简单

双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为

A. 2sin40° B. 2cos40° C.  D.

12. 难度：中等

已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是(    )

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数，则的值为__________．

14. 难度：简单

在中，，，若，点为线段的中点，则的值为______．

15. 难度：中等

已知AB平面BCD,，则三棱锥的外接球的体积为

16. 难度：中等

某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．（用数字作答）

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列的前项和为，且满足，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，记数列的前项和为，证明：.

18. 难度：中等

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.

	非体育迷	体育迷	合计
男
女
合计

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

附：参考公式：.

	0.05	0.01
	3.841	6.635

19. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点.

（1）证明：MN∥平面C₁DE；

（2）求点C到平面C₁DE的距离．

20. 难度：困难

椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由

21. 难度：困难

已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

23. 难度：中等

    已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．