2020届江苏省、金陵中学、新海高级中学高三上学期12月联考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设全集，若，则集合______.

2. 难度：简单

已知复数满足 (为虚数单位)，则的实部为__.

3. 难度：简单

已知样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为______.

4. 难度：中等

如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

5. 难度：中等

从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为______.

6. 难度：简单

在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_______．

7. 难度：简单

将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为     ．

8. 难度：简单

设定义在R上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数x的取值范围是_________

9. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，，则的值为_________.

10. 难度：中等

设为数列的前n项和，若（），且，则的值为______.

11. 难度：中等

设正实数x，y满足，则实数x的最小值为______.

12. 难度：中等

如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则四棱锥的体积为___________.

13. 难度：中等

已知向量满足且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为___________.

14. 难度：困难

已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.

二、解答题

15. 难度：中等

已知的面积为，且，向量和是共线向量

（1）求角C的大小：

（2）求的三边长

16. 难度：简单

如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，且，，，分别是，的中点，.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面．

17. 难度：中等

如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.

（1）求有轨观光直路的长；

（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）过点，其心率等于.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且椭圆E于点P.

①求证：为定值：

②设与以为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线经过定点.

19. 难度：困难

已知数列满足：（常数），（，）.数列满足：（）.

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

设函数，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，且函数在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；

（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的，.

21. 难度：中等

已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.

22. 难度：中等

在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．

23. 难度：中等

已知实数满足，求证：．

24. 难度：中等

如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直，长度分别为1，2，2.若（），且向量与夹角的余弦值为.

（1）求的值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

25. 难度：困难

已知数列的通项公式为，，记.

（1）求，的值；

（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.