湖北省随州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

直线的倾斜角为（    ）

A.30° B.60° C.120° D.150°

2. 难度：简单

数列2，，，，…的一个通项公式a_n等于（     ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

抛物线的焦点到准线的距离是（    ）

A. B. C.4 D.8

4. 难度：简单

设为平面外的一条直线，的方向向量为，的法向量为，则对于下列结论，各选项说法正确的为（    ）

①若，则；②若，则；③设与所成的角为，则．

A.只有①正确 B.只有②③正确 C.只有①③正确 D.①②③都正确

5. 难度：简单

已知双曲线C：（，）的离心率为，则C的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知数列中，，，则等于（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

若，则方程所表示的曲线一定不会是（    ）

A.直线

B.焦点在x轴上的椭圆

C.焦点在y轴上的椭圆

D.双曲线

8. 难度：简单

如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于(     )

A.  B.

C.  D.

9. 难度：中等

古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（    ）

A.15 B.16 C.17 D.18

11. 难度：困难

椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（     ）

A.  B.

C.  D.

12. 难度：困难

棋盘上标有第0、1、2...100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为，设．则下列结论正确的有（    ）

①；；

②数列（）是公比为的等比数列；

③；

④．

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

13. 难度：简单

设等差数列的前n项和为，若，则的公差为______．

14. 难度：中等

已知直线l：与曲线有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是______．

15. 难度：中等

下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次．

16. 难度：中等

若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论：

①和一定有交点；

②若，则；

③若，则；

④设与在第一象限内相交于点，若，则．

其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前n项和为，且.             

（1）求数列的通项.

（2）设，求数列的前n项和.

18. 难度：中等

已知的顶点，边上的中线所在直线方程为， 边上 的高，所在直线方程为.

（1）求顶点 的坐标；

（2）求直线的方程.

19. 难度：简单

某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏，共有15关，每过一关可以得到一定的积分，现有三种积分方案供闯关者选择.方案一：每闯过一关均可获得40积分；方案二：闯过第一关可获得5积分，后面每关的积分都比前一关多5；方案三：闯过第一关可获得0.5积分，后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏，最终积分为闯过的各关的积分之和，设三种方案闯过n（且）关后的积分之和分别为，要求闯关者在开始前要选择积分方案．

（1）求出的表达式；

（2）为获得尽量多的积分，如果你是一个闯关者，试分析这几种积分方案该如何选择？小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关，则他应该选择第几种积分方案？

20. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为梯形，，，且．

（1）在PD上是否存在一点F，使得平面PAB，若存在，找出F的位置，若不存在，请说明理由；

（2）求二面角的大小．

21. 难度：中等

在中，两直角边AB，AC的长分别为m，n（其中），以BC的中点O为圆心，作半径为r（）的圆O．

（1）若圆O与的三边共有4个交点，求r的取值范围；

（2）设圆O与边BC交于P，Q两点；当r变化时，甲乙两位同学均证明出为定值甲同学的方法为：连接AP，AQ，AO，利用两个小三角形中的余弦定理来推导；乙同学的方法为；以O为原点建立合适的直角坐标系，利用坐标法来计算.请在甲乙两位同学的方法中选择一种来证明该结论，定值用含m、n的式子表示.（若用两种方法，按第一种方法给分）

22. 难度：困难

椭圆C：（）的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、的斜率分别为、，若，试证明为定值，并求出这个定值．