2020届山东省青岛即墨区高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知向量，，若向量，夹角为，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在平面直角坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是:“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？”（设该金杖由粗到细是均匀变化的）（    ）

A.21 B.18 C.15 D.12

5. 难度：简单

已知，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

在中，，，，若，，，且，则的值为（    ）

A. B.1 C. D.

7. 难度：中等

对于任意向量，下列关系中恒成立的是（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

在矩形中，，，点为的中点，点在线段上.若，且点在直线上，则（    ）

A. B. C. D.-3

9. 难度：简单

（    ）

A.1 B. C. D.-1

10. 难度：中等

已知，为锐角，，，则（    ）

A.2 B. C. D.

二、多选题

11. 难度：中等

函数的图象为，如下结论正确的是（    ）

A.的最小正周期为

B.对任意的，都有

C.在上是增函数

D.由的图象向右平移个单位长度可以得到图象

12. 难度：中等

已知平面向量满足，若，则的值可能为（    ）

A. B. C. D.

13. 难度：中等

《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是

A.周长为

B.三个内角，，成等差数列

C.外接圆直径为

D.中线的长为

三、填空题

14. 难度：简单

已知向量，，若，则__________.

15. 难度：中等

已知函数，（）的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为___________；

16. 难度：中等

已知为单位向量，且，若，则___________；

17. 难度：中等

已知函数，若在区间内单调递增，且函数的图象关于对称，则函数的最大值为__________，___________.

四、解答题

18. 难度：简单

已知数列为等比数列，且.

（1）求公比和的值；

（2）若的前项和为，求证:成等比数列.

19. 难度：中等

在中，分别是角的对边，是上的点，平分，的面积与面积比为.

（1）求；

（2）若三边成等差数列，求角.

20. 难度：中等

在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.

（1）求；

（2）求的取值范围.

21. 难度：中等

设.

（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；

（2）讨论在上的单调性及最值.

22. 难度：中等

已知是各项为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项．

（1）设，，求证：是等差数列；

（2）若，，，

（Ⅰ）求数列的前项和；

（Ⅱ）求数列的前项和．

23. 难度：中等

平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”；平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.

（1）若“向量列”是“等比向量列”，用和“公比”表示；

（2）若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求.