2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设a是实数，且是实数，则a＝               (    )

A. B.1 C. D.2

2. 难度：中等

设集合，则M∩N= （ ）

A. M B. N C.  D. R

3. 难度：中等

已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（　　）

A.  B.  C.  D.

4. 难度：中等

设函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，，则m的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

的展开式中，常数项为，则（ ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在数列中，，，且，则（    ）

A.0 B.1300

C.2600 D.2602

7. 难度：中等

如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、[如表示身高（单位：cm）在内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

直线ax＋by＝1与圆x²＋y²＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为( )．

A.0 B. C.－1 D.＋1

11. 难度：中等

若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（      ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有_______种．（用数字做答）

14. 难度：简单

．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是.

15. 难度：困难

若，我们把使乘积为整数的数n叫做“劣数”，则在区间内所有劣数的和为______．

16. 难度：中等

某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：①函数在上单调递增；②存在常数，使对一切实数x都成立；③函数在上无最小值，但一定有最大值；④点是函数图象的一个对称中心，其中正确的是______．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在中,.

（1）求sinA

（2）记BC的中点为D，求中线AD的长.

18. 难度：中等

甲居住在城镇的处,准备开车到单位处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如：算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为,路段发生堵车事件的概率为).

(1)请你为甲选择一条由到的最短路线

(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),

使得途中发生堵车事件的概率最小；

(2)设甲在路线中遇到的堵车次数为随机变量,求的数学期望.

19. 难度：中等

在中，，，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D、E（图一），沿DE将折起，使得平面平面BDEC（图二）．

（1）若F是AB的中点，求证：平面ADE．

（2）P是AC上任意一点，求证：平面平面PBE．

（3）P是AC上一点，且平面PBE，求二面角的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点.

（Ⅰ）求直线ON（O为坐标原点）的斜率；

（Ⅱ）对于椭圆C上任意一点M，试证：对任意的等式都成立.

21. 难度：困难

已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．

①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；

②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).

(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线的参数方程化为普通方程;

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m的值.

23. 难度：中等

已知不等式的解集是．

求实数a，b的值：

解不等式．