2019届湖南省长沙市高三第一次月考数学（理）试卷_满分5

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4. 难度：简单
设平面向量均为非零向量，则“”是“”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.即不充分又不必要条件

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5. 难度：中等
已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（） A.关于直线对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于点对称

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6. 难度：中等
执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( ) A.7 B.15 C.31 D.63

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10. 难度：困难
长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是（） A. B. C. D.

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11. 难度：中等
已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数、都有，记，，，则（） A. B. C. D.

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17. 难度：简单
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA. （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求的取值范围.

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18. 难度：简单
如图，已知是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中点. （1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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19. 难度：困难
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线：与椭圆交于，两点.当时，是椭圆的下顶点，且的周长为6. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，直线、分别与直线交于、点，证明：当变化时，以线段为直径的圆与直线相切.

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20. 难度：简单

指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重；当数值小于20.5时，我们说体重较轻；身高大于或等于170的我们说身高较高；身高小于170的我们说身高较矮.

（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与指数的数据如散点图所示，请根据所得信息，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为男体育特长生的身高对指数有影响；

（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如下表所示：

根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率（保留两位有效数字）；

②通过残差分析，对于残差（绝对值）最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.

（参考公式）

，，

（）.

（）	0.10	0.05	0.01	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

（参考数据）

，，，，，

，.

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21. 难度：困难
已知函数，其中为实数. （1）当时，判断函数在其定义域上的单调性；（2）是否存在实数，使得对任意的，恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值并加以证明.

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22. 难度：中等
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为. （1）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P为椭圆C：上一点，求点到直线的距离的最值.

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23. 难度：中等
已知函数，. （1）当时，解不等式；（2）若函数的最小值为3 ，求实数的取值范围.