北京市朝阳区2019-2020学年高二第一学期期末质量检测试卷数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

不等式的解集是(    )

A. B.

C. D.或

2. 难度：简单

已知，则当取得最小值时，的值为(    )

A.1 B.2 C.3 D.4

3. 难度：简单

已知双曲线的一个焦点为，则的值为(    )

A.9 B.6 C.5 D.3

4. 难度：简单

在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为(    )

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

若，，向量不共面，则下列选项中三个向量不共面的是(    )

A.，， B.，，

C.，， D.，，

6. 难度：简单

已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出的所有序号是(    )

① ；②；③；④

A.①②③ B.①② C.②③④ D.③④

7. 难度：简单

已知，，则的最小值是(    )

A.4 B.6 C.8 D.16

8. 难度：中等

已知数列和满足，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的(    )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

[2018·亳州一模]经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若交双曲线的左支于，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知球的直径为3，是球上四个不同的点，且满足，，，分别用表示的面积，则的最大值是(    )

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

双曲线的渐近线方程________．

12. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________.

13. 难度：简单

已知公比不为1的等比数列满足，，则_________.

14. 难度：中等

某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积为_________.

15. 难度：简单

《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.

16. 难度：简单

若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列是递增的等差数列，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）若，设数列的前项和为，求满足的的最小值.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.已知，.

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知抛物线经过点.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）过抛物线的焦点的直线交于两点，设为原点.

（ⅰ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（ⅱ）当时，求直线的方程.

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线（）交椭圆于两点（不同于点）.过原点的一条直线与直线交于点，与直线分别交于点.

（ⅰ）当时，求的最大值；

（ⅱ）若，求证：点在一条定直线上.