2020届山西省联盟体高三3月模拟考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数（是虚数单位），，则（ ）

A. B.

C. D.

3. 难度：中等

已知曲线：，直线：，则是直线与曲线相切的（     ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形

最大角为

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若，且，则等于（ ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替:，其中.若令，，请依据上述算法，估算的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 难度：困难

已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（      ）

A．    B．

C．    D．

8. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）

A.10 B.11 C.12 D.13

9. 难度：简单

已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（    ）

A.180 B.196 C.210 D.224

11. 难度：困难

圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形为圆心，边长为半径，作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，若向量在方向上的投影为3，则实数______．

14. 难度：中等

已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是__________.

15. 难度：中等

若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为__________.

16. 难度：中等

若在有恒成立，则的取值范围为__________

三、解答题

17. 难度：中等

已知分别为三个内角的对边， ， .

（1）求；

（2）若是的中点， ，求的面积.

18. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若对任意的恒成立，求实数t的取值范围.

19. 难度：中等

如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， ,.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆C过点M（1，），两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点A（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．

21. 难度：中等

某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，己知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.

（1）求与的值；

（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，求线段的最小值.