2020届湖南省长沙市高三月考（一）数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数

A.1 B.-1 C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

三个数，，的大小顺序是　　

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（   ）

A.  B.

C.  D.

5. 难度：简单

已知是给定的平面，设不在内的任意两点M，N所在的直线为l，则下列命题正确的是（    ）

A.在内存在直线与直线l异面

B.在内存在直线与直线l相交

C.在内存在直线与直线l平行

D.存在过直线l的平面与平行

6. 难度：简单

A₄纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A₀、A₁、A₂…、A₅，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A₀纸对裁后可以得到2张A₁纸，1张A₁纸对裁可以得到2张A₂纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A₀纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A₄纸的长度为（　　）

A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米

7. 难度：简单

函数的大致图象是（  ）

A. B.

C. D.

8. 难度：简单

若非零向量满足，则的夹角为（    ）．

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知数列的前项和为，若，则（  ）

A.  B.  C.  D.

10. 难度：简单

如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（   ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)

A. B.

C. D.

12. 难度：简单

已知函数满足，且，则（    ）

A. B.0 C.1 D.2

二、填空题

13. 难度：简单

已知数列的前项和，则_______.

14. 难度：简单

已知函数，则在点处切线的倾斜角为______.

15. 难度：中等

______．

16. 难度：简单

已知三棱锥，，，，当取最大值时，三棱锥的外接球表面积是______.

三、解答题

17. 难度：简单

2022年第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行，为了宣传冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看第23届平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

	收看	没收看
男生	60	20
女生	20	20

（1）根据上表数据，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？

（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动，若从这8人中随机选取2人到较广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率.

附：，其中.

P（）	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

18. 难度：中等

在中，内角、、的对边分别为、、，且满足.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，，，，点为的中点，，.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点．

（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；

（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线的方程．

21. 难度：困难

已知函数

（1）若在其定义域上是单调增函数，求实数的取值集合；

（2）当时，函数在有零点，求的最大值

22. 难度：困难

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.

(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

(2)若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.

23. 难度：中等

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）.