河北省2019届高三上学期9月摸底测试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则集合与的关系是(    )

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

设复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部为(    )

A.2 B. C. D.

3. 难度：简单

如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说法正确的是（    ）

A.该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高

B.该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势

C.该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元

D.该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元

4. 难度：简单

设为等差数列的前项和，若，则(    )

A.60 B.30 C.12 D.4

5. 难度：简单

古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，已知直线交抛物线于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知函数f（x）=（m+2）是幂函数，设a=log₅4，b=，c=0.5^–0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是

A.f（a）<f（b）<f（c） B.f（b）<f（c）<f（a）

C.f（c）<f（b）<f（a） D.f（c）<f（a）<f（b）

7. 难度：简单

设命题，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象；命题，，则下列命题为真命题的是(    )

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积的最小值为(    )

A. B.2 C.4 D.6

9. 难度：简单

已知直线，分别是曲线与的对称轴，则(    )

A.2 B. C.0 D.

10. 难度：中等

已知双曲线的离心率，且双曲线的渐近线与圆相切，则的最大值为(    )

A.3 B. C.2 D.

11. 难度：中等

已知正方体的棱的中点为，与交于点，平面过点且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为(    )

A. B. C. D.

12. 难度：中等

对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，若曲线存在“优美点”，则实数k的取值范围为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，若，则______．

14. 难度：简单

已知实数，满足不等式组，则的最小值为__.

15. 难度：简单

第21届世界杯足球赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯举行.在俄罗斯的某旅游团中的4名男游客和2名女游客决定分成两组，每组3人，分别去观看其中的两场小组比赛，若2名女游客必须在同一小组的分配方案共有种，则展开式中含项的系数为__.（用数字填写答案）

16. 难度：中等

数列中，，当时，都有，且，设表示的个位数字，则__.

三、解答题

17. 难度：中等

中，角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求证：，，成等差数列；

（2）若，求面积的最大值.

18. 难度：中等

已知多面体中，，平面，.

（1）求证：平面；

（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业以下简称外卖A、外卖的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：

分数 人数 种类
外卖A	50	150	100	400	300
外卖B	100	100	300	200	300

表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：

分数
服务质量指标	0	1	2	3

视频率为概率，解决下列问题：

从该市使用过外卖A的市民中任选5人，记对外卖A服务质量评价较高的人数为X，求X的数学期望．

从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；

在M市工作的小王决定从外卖A、外卖B这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，且以椭圆的两焦点和短轴的一个端点为顶点的三角形的周长恰为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线与抛椭圆相交于，两点，问：在轴上是否存在定点（其中，使得向量与向量共线（其中为坐标原点）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）若函数既有极大值又有极小值，试求实数的取值范围；

（2）设，且，是函数的两个零点，求证：.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若圆与圆相交于点，，求弦的长.

23. 难度：中等

选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于x的方程存在实数解，求实数的取值范围．