2019届北京市高三上学期开学考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设集合，，则（   ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

将420名工人编号为：001，002，，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005．这420名工人来自三个工厂，从001到200为工厂，从201到355为工厂，从356到420为工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（    ）

A.28，23，9 B.27，23，10 C.27，22，11 D.28，22，10

4. 难度：简单

已知公差不为0的等差数列的首项，若，，成等比数列，则的前5项之和为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

若函数在处的切线方程为，则，的值为(    )

A.2,1 B.-2，-1 C.3,1 D.-3，-1

6. 难度：中等

在平行四边形中，为与的交点，若，则（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（    ）

A. B. C.18 D.27

8. 难度：中等

设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，且，则（    ）

A.3 B. C.2 D.4

9. 难度：中等

若实数，满足，则的取值范围是（    ）

A.， B. C. D.，

10. 难度：中等

在上随机地取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（  ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数，则的零点个数为__．

14. 难度：中等

已知数列满足，，则的通项公式为__．

15. 难度：中等

某校开设类选修课4门，类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__种．

16. 难度：困难

已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，，，．

（1）求；

（2）若为的中点，求的长度．

18. 难度：困难

如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，是的中点，是的中点，点在线段上且．

（1）证明平面；

（2）当为多大时，在线段上存在点使得平面且与平面所成角为同时成立？

19. 难度：中等

设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一个红球得分，取出一个白球得分，取出一个黑球得分，其中，，都为正整数．

（1）当，，时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；

（2）当时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数，若，，求和．

20. 难度：困难

设椭圆的右焦点为，过点作直线与椭圆交于，两点，且坐标原点到直线的距离为1．

（1）当时，求直线的方程；

（2）求面积的最大值．

21. 难度：困难

已知函数，为常数，．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，求证：．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），点以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，求曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线与直线交于点，，若，求的值．

23. 难度：中等

已知．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若，求证：．