2019届福建省宁德市高三质量检查数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

若已知向量，，若，则的值为

A. B. C. D.

4. 难度：简单

在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（  ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（    ）

（参考数据：，，，）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知平面区域：，：，则点是的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：简单

直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

若函数，则（    ）

A.函数的最小正周期为 B.函数的最大值为

C.函数的一个对称中心为 D.函数在上是增函数

9. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

若过抛物线：焦点的直线与相交于，两点，且，过线段的中点作轴的垂线交抛物线的准线于点，则 的面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

函数的导函数满足在上恒成立，且，则下列判断一定正确的是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知，则（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

复数的实部为__________．

14. 难度：简单

已知双曲线(，)的一条渐近线方程为，则的离心率为__________．

15. 难度：中等

海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为________．

16. 难度：中等

若函数有最小值，则实数的取值范围为______．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等比数列的各项均为正数，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．

18. 难度：中等

在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

19. 难度：中等

某地举办水果观光采摘节，并推出配套旅游项目，统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；

（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目，请列出所有的可能结果，并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；

（3）为吸引顾客，该地特推出两种促销方案，

方案一：每满80元可立减8元；

方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．

若水果的价格为11元／千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案.

20. 难度：中等

已知椭圆：的左焦点为，且过点，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点为椭圆上的动点，过点作平行于的直线交椭圆于，两点，求 面积的取值范围．

21. 难度：中等

若函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若在上存在两个零点，求的取值范围．

22. 难度：中等

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．

（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；

（2）在（1）的条件下，直线的极坐标方程为，设曲线与直线的交于点和点，曲线与直线的交于点和点，求的面积．

23. 难度：中等

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，且，求证：．