河南省信阳市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

某食品广告词为“幸福的人们都拥有”．初听起来，这似乎只是普通的赞美之词，然而它的实际效果却很大．原来这句广告词的等价命题是(　　)

A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福

C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福

2. 难度：简单

己知，，，若三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（    ）

A. B.9 C. D.0

3. 难度：中等

《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（    ）

A.15 B.16 C.18 D.21

4. 难度：简单

若双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则其渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知，则下列不等式一定成立的是（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 难度：中等

已知的三个内角分别为，，，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

等比数列的前项和为，公比为，若，，则（  ）

A. B.2 C. D.3

8. 难度：中等

如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（   ）

A. B.1 C.2 D.

9. 难度：中等

已知椭圆（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：简单

设，若恒成立，则的取值范围为（  ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴上方），与轴的正半轴相交于点，点是抛物线不同于，的点，若，则（    ）

A.1:2:4 B.2:3:4 C.2:4:5 D.2:3:6

12. 难度：困难

记为最接近的整数，如：，，，，，…，若，则正整数的值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若，满足约束条件，则的最小值为______.

14. 难度：简单

已知命题，使得，命题，，若为真命题，则实数的取值范围为________.

15. 难度：中等

如图，某校一角读书亭的高为，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔，在它们之间的地面点（、、三点共线）处测得读书亭顶部与灯塔顶部的仰角分别是和，在读书亭顶部测得灯塔顶部的仰角为，则灯塔的高为______.

16. 难度：中等

如图，已知椭圆，点, 分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线，的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为________．

三、解答题

17. 难度：中等

在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

18. 难度：中等

已知是单调递减等比数列的前项和，，且，，成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和满足，求的值.

19. 难度：中等

已知三棱柱中，，侧面底面，是的中点，，.

（Ⅰ）求证：为直角三角形；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20. 难度：中等

党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元.

（1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使剩下户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的最大值.（参考数据：)

21. 难度：困难

已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

22. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.

23. 难度：中等

设函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围.