2019届福建省莆田市毕业班第二次质量检测（A卷）文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

已知复数满足，则复数的共轭复数为（　　）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若点是角终边上一点，则（   ）

A.-2 B. C. D.2

4. 难度：简单

如图是计算的程序框图，若输出的的值为，则判断框中应填入的条件是（  ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知两条平行直线、之间的距离为，与圆相切，与相交于、两点，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

函数的大致图象为（　　）

A.  B.

C.  D.

7. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：简单

剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）

A. B. C. D.

9. 难度：困难

已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为(     )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，．若，则的最小值是（   ）

A.  B.  C.  D.

12. 难度：中等

如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，，，则四棱锥外接球的表面积为（   ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，若，则______．

14. 难度：简单

若实数，满足约束条件且目标函数的最大值为2，则实数______．

15. 难度：困难

在中，内角所对的边分别为为的面积，，且成等差数列，则的大小为______．

16. 难度：中等

已知函数．若，则的最大整数值为______．

三、解答题

17. 难度：简单

等差数列的前项和为，，．数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和满足，求的值．

18. 难度：中等

如图，在多面体中，四边形为矩形，，面，，，，分别是，的中点，是线段上的任一点．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

19. 难度：简单

随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，我市于2018年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估我市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）采用分层抽样的方法从这1000名学生的成绩中抽取容量为40的样本，再从该样本成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有一名学生成绩不低于90分的概率；

（3）我市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“文科素养优秀标兵”称号．一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵”称号．

20. 难度：中等

已知，是曲线上任意一点，动点满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交于，两点，过原点与点的直线交直线于点，求证：.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；   

(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.

23. 难度：中等

已知函数.

(1)若不等式的解集为，求的值；

(2)设函数.若，求的取值范围.