2019届陕西省西安市高三上学期期中数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则=（   ） .

A. B.或

C. D.

2. 难度：简单

设复数满足，则（    ）

A.3 B. C.9 D.10

3. 难度：中等

已知实数、满足约束条件，若目标函数的最大值和最小值分别为和，则（    ）

A.3 B.5 C.4 D.

4. 难度：简单

已知命题对任意，总有；命题直线，，若，则或；则下列命题中是真命题的是（   ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为8、2，则输出的（    ）

A.5 B.4 C.3 D.2

6. 难度：中等

质地均匀的正四面体表明分别印有0,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为，且两次结果相互独立，互不影响.记为事件，则事件发生的概率为(    )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知点在幂函数图象上，设曲线：，，，则、、的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

设、、是双曲线上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么下列推断正确的是（     ）

A.若=4，则甲有必赢的策略 B.若=6，则乙有必赢的策略

C.若=9，则甲有必赢的策略 D.若=11，则乙有必赢的策略

12. 难度：困难

已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“垂直对点集”,给出下列四个集合:

①;②;③;④;其中是“垂直对点集”的序号是(    )

A.①② B.②③ C.②④ D.①④

二、填空题

13. 难度：中等

若，，，则，，的大小关系为___．

14. 难度：中等

已知点P（x，y）是抛物线y²＝4x上任意一点，Q是圆（x+2）²+（y﹣4）²＝1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_____．

15. 难度：中等

已知，，,若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于________.

16. 难度：中等

已知函数有四个零点，则实数的取值范围是________．

三、解答题

17. 难度：简单

某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度）. ，.

（1）求道路的长度；

（2）求生活区面积的最大值.

18. 难度：中等

某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，采集相应数据，对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示：

（1）折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年1月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有采购成本分别为10万元包和12万元包的、两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，已知生产新型材料的企业乙对、两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命频数统计如表：

使用寿命 材料类型	1个月	2个月	3个月	4个月	总计
	20	35	35	10	100
	10	30	40	20	100

经甲公司测算，平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？

参考数据：，．

参考公式：回归直线方程为，其中．

19. 难度：困难

如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知曲线，曲线，且与的焦点之间的距离为，且与在第一象限的交点为．

(1)求曲线的方程和点的坐标；

(2)若过点且斜率为的直线与的另一个交点为，过点与垂直的直线与的另一个交点为．设，试求取值范围．

21. 难度：困难

函数，其中，，为实常数

（1）若时，讨论函数的单调性；

（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，当时，证明：.

22. 难度：中等

已知曲线的参数方程为（为参数）；直线（，）与曲线相交于两点，以极点为原点，极轴为轴的负半轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.