天津市2019-2020学年高二3月学生学业能力调研考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设复数满足，则(   )

A. B.2 C. D.4

2. 难度：简单

已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（  ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（     ）

A.种 B.种 C.种 D.种

6. 难度：中等

如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（   ）

A.56 B.72 C.64 D.84

7. 难度：简单

已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ）．

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点

重合，是C的准线与E的两个交点，则 (    )

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知(a－x)⁵＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₅x⁵，若a₂＝80，则a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₅＝          (　 　)

A.32 B.1 C.－243 D.1或－243

二、填空题

10. 难度：中等

的展开式中x⁷的系数为__________.（用数字作答）

11. 难度：简单

有9本不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书4本，外语书3本，物理书2本，如果同一学科的书要排在一起，那么有________种不同的排法（填写数值）.

12. 难度：简单

圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________．

13. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为______．

14. 难度：中等

已知双曲线（，）的焦点分别是、，焦距为，双曲线上存在一点，使直线与圆相切于的中点，则双曲线的离心率是______．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，平面，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.

16. 难度：中等

已知(＋3x²)ⁿ的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中系数最大的项．

17. 难度：中等

已知数列前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，为的前项和，求证：.

（3）在（2）的条件下，若数列的前n项和为，，求证

（4）请你说明第（3）问所用到的求和方法，哪些数列通项的模型适合此方法？请举例说明.（至少列举出三种）

18. 难度：困难

已知数列是公差为1的等差数列，数列是等比数，且,,数列满足其中.

（1）求和的通项公式

（2）记，求数列的前n项和.