2020届福建省高三上学期月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设向量，满足，，则（   ）

A.1 B.2 C.3 D.5

3. 难度：中等

已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称

C.的一个零点为 D.在上单调递减

4. 难度：中等

函数图象的大致形状是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知定义域为的奇函数满足，且当时,，则（　　  ）

A. B.2 C.-2 D.

6. 难度：中等

给出下列四个命题:

①命题“，有”的否定为:“”；

②已知向量与的夹角是钝角，则实数k的取值范围是；

③函数的单调递增区间是；

④“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件；

其中错误命题的个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7. 难度：简单

已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：

三棱锥的体积不变；

平面；

；

平面平面．

其中正确的结论的个数是　　

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 难度：简单

若数列满足（，为常数）,则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（    ）

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200

10. 难度：中等

已知函数在定义城R上可导，且，则关于x的不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足，，若，为函数的导函数，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，若曲线上始终存在两点，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（      ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

圆与圆的公共弦长为________.

14. 难度：简单

已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为，则该三棱柱的体积是_______．

15. 难度：简单

已知，cos(α-β)=,sin(α+β)=,那么sin2α=        .

16. 难度：困难

已知，若，且方程有5个不同根，则的取值范围为________

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量满足，函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且，求.

18. 难度：困难

已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．

（1）证明：；

（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．

19. 难度：困难

四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：

其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．

1求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；

2现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数

（1）讨论的单调性.

（2）若存在两个极值点，，证明：.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线与轴交点为，经过点的直线与曲线交于，两点，证明：为定值.

23. 难度：中等

已知函数．

（1）若不等式的解集为，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围．