广东省2020届高三上学期期末教学质量检测数学（理科）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是(     )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为(    )

A. B. C.5 D.10

3. 难度：简单

设实数满足，则的最大值和最小值分别为(    )

A.1， B.， C.1， D.，

4. 难度：简单

设是公比不为－1的等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是(    )

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知双曲线(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y²＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)

A.  B.  C.  D.

6. 难度：简单

若，，则(     )

A. B. C. D.

7. 难度：中等

是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    )

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知函数，若，则(     )

A. B. C. D.

9. 难度：简单

“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（    ）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10. 难度：简单

函数的图象如图所示，则下列结论成立的是(     )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 (　　)

A.(－∞，0] B.(－∞，1]

C.[－2,1] D.[－2,0]

12. 难度：中等

三棱锥中，平面，，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为(     )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________

14. 难度：简单

已知为等差数列，为其前项和，若，，则 _______

15. 难度：中等

函数在处取得最大值，则 ______

16. 难度：中等

已知圆和点，若定点和常数满足，对圆上任意一点，都有，则 _____ .

三、解答题

17. 难度：中等

设的内角的对边分别为，且.

（1）求边长的值；

（2）若的面积，求的周长.

18. 难度：中等

如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）谈论函数的零点个数

20. 难度：中等

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.

21. 难度：中等

心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.

（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；

（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：

22. 难度：简单

已知动点P，Q都在曲线上，且对应参数值分别为与（），点M为PQ的中点.

（1）求点的轨迹的参数方程（用作参数）；

（2）将点到坐标原点的距离表示为的函数，并判断点的轨迹是否过坐标原点.

23. 难度：中等

设函数

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围．