河北省2020届高三上学期12月月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合A＝{x∈Z|x²－1≤0}，B＝{x|x²－x－2＝0}，则A∩B＝（ ）

A.∅ B.{2} C.{0} D.{－1}

2. 难度：简单

下列说法中正确的是（    ）

A.命题“，”的否定是“，≤1”

B.命题“，”的否定是“，≤1”

C.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

D.命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”

3. 难度：简单

设各项均不为0的数列{a_n}满足（n≥1），S_n是其前n项和，若，则S₄=（    ）

A.4 B.

C. D.

4. 难度：简单

如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=（    ）

A. B.

C.3 D.-3

5. 难度：中等

，那么（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 难度：简单

已知x，y满足则2x-y的最大值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7. 难度：中等

已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则 （    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：困难

已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

若，则_______.

12. 难度：简单

已知向量，，若向量与向量共线，则实数λ=______．

13. 难度：简单

某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N^*）的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系式为．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_______．

14. 难度：困难

若，则__________．

15. 难度：困难

定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y=| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：

①函数是上的“平均值函数”．

②若是上的“平均值函数”，则它的均值点x₀≥．

③若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．

④若是区间[a.，b] （b>a.≥1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．

其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

16. 难度：简单

已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx），其中ω>0，函数2·-1的最小正周期为π．

（Ⅰ） 求ω的值；

（Ⅱ） 求函数在[，]上的最大值．

17. 难度：中等

已知函数的定义域为D.

（1）求D；

（2）若函数在D上存在最小值2，求实数m的值.

18. 难度：简单

在△A.BC中，A.，b，c分别是内角A.，B，C的对边，．

（Ⅰ） 若，求的值；

（Ⅱ） 若是边中点，且，求边的长．

19. 难度：困难

记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．

（Ⅰ） 求数列的通项公式及；

（Ⅱ） 若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. 难度：困难

已知函数f（x）＝e^x－ax－1（e为自然对数的底数），a＞0．

（1）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a^a＝e^a－1；

（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

21. 难度：中等

已知函数（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是.

（1）求的值；（2）求的单调区间；

（3）设（其中为的导函数）．证明：对任意，