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2019届贵州省黔东南州高三下学期第一次模拟考试(理)数学试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

表示集合中整数元素的个数,设集合,则(   )

A.  B.  C.  D.

 

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2. 难度:简单

z为纯虚数,且,则   

A. B. C. D.

 

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3. 难度:简单

椭圆=1的离心率为(  )

A. B. C. D.

 

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4. 难度:简单

某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛,现将他们最近集训的10次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成表格如下:

 

平均数

方差

 

根据表中的数据,应选哪位选手参加全省的比赛(   )

A. B. C. D.

 

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5. 难度:简单

将函数fx=cos4x-)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=gx)的图象,则gx)的最小正周期是(  )

A. B. C. D.

 

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6. 难度:简单

函数的图像大致为(   )

A. B.

C. D.

 

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7. 难度:中等

若x,y满足约束条件 ,则z=x+3y的最大值为(  )

A. 2 B. 8 C. 16 D. 20

 

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8. 难度:简单

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(   )

A.  B.  C.  D.

 

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9. 难度:简单

双曲线与双曲线有共同的渐近线,且经过抛物线的顶点,则的方程为(   )

A. B. C. D.

 

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10. 难度:简单

已知,则   

A. B.2 C. D.

 

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11. 难度:中等

在空间直角坐标系中,0012,若四面体OABC的外接球的表面积为,则异面直线ODAB所成角的余弦值为(   

A. B. C. D.

 

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12. 难度:中等

已知函数,只有一个零点,且,则的取值范围为(   

A.  B.

C.  D.

 

二、填空题
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13. 难度:简单

函数的值域为______.

 

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14. 难度:简单

中,,则__________

 

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15. 难度:中等

的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为,则______.

 

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16. 难度:中等

瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形,的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为的欧拉三角形.如图,的欧拉三角形(H的垂心).已知,若在内部随机选取一点,则此点取自阴影部分的概率为________.

 

三、解答题
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17. 难度:简单

已知等比数列的公比为2,且.

(1)求的通项公式;

(2)若,求数列的前项和.

 

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18. 难度:中等

如图,在直三棱柱中,,点分别为的中点.

1)证明:平面

2)求与平面所成角的正弦值.

 

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19. 难度:中等

某大型工厂有6台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力(若有2台机器同时出现故障,工厂只有1名维修工人,则该工人只能逐台维修,对工厂的正常运行没有任何影响),每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.

(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时,有工人进行维修(例如:3台大型机器出现故障,则至少需要2名维修工人),则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;

(2)已知该厂现有2名维修工人.

(ⅰ)记该厂每月获利为万元,求的分布列与数学期望;

(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?

 

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20. 难度:中等

在直角坐标系xOy中,曲线C:x2=6y与直线l:y=kx+3交于M,N两点.

(1)设M,N到y轴的距离分别为d1,d2,证明:d1d2为定值.

(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?若存在,求以线段OP为直径的圆的方程;若不存在,请说明理由.

 

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21. 难度:困难

已知函数.

1)当时,求的单调区间;

2)若函数存在两个极值点,求的取值范围.

 

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22. 难度:中等

在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;

(2)若直线与曲线交于两点,,求.

 

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23. 难度:中等

已知函数.

(1)求不等式的解集;

(2)若的最小值为,且,证明:.

 

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