2020届湖南省长沙市高三上学期第一次月考数学试卷(1)

一、单选题

1. 难度：简单

已如集合P＝{x|x²﹣2x﹣3≥0}，Q＝{x|1＜x＜4}，则P∩Q＝（    ）

A.（﹣1，3） B.[3，4）

C.（﹣∞，﹣3）∪[4，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

2. 难度：简单

设复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝4，z在复平面内对应的点为（x，y），则（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

若，，则下列不等式正确的是（   ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

A₄纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A₀、A₁、A₂…、A₅，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A₀纸对裁后可以得到2张A₁纸，1张A₁纸对裁可以得到2张A₂纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A₀纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A₄纸的长度为（　　）

A.厘米 B.厘米 C.厘米 D.厘米

5. 难度：简单

函数的大致图象是（  ）

A. B.

C. D.

6. 难度：简单

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（　　）

A.1 B. C. D.

8. 难度：困难

已知函数，有三个不同的零点，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 不能确定

9. 难度：简单

若a≠b，数列a，x₁，x₂，b和数列a，y₁，y₂，y₃，b都是等差数列，则 ＝（    ）

A. B. C.1 D.

10. 难度：简单

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且，直线AF₂交y轴于点M，若|F₁F₂|＝6|OM|，则△OMF₂与△AF₁F₂的面积之比为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A. B.

C. D.

12. 难度：困难

已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

若直线是曲线的一条切线，则______．

14. 难度：简单

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃＝7a₁，则{a_n}的公比q的值为_____．

15. 难度：简单

为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．

16. 难度：困难

已知为双曲线右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为________．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，D是直角斜边BC上一点，．

Ⅰ若，求的大小；

Ⅱ若，且，求AD的长．

18. 难度：中等

（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点．

（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；

（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线的方程．

20. 难度：困难

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数恰有四个零点，求实数的取值范围。

21. 难度：中等

为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致戏察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为（肩手左右）的游戏，方案如下：

游戏准备：

选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．

游戏进行：

一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．

游戏评价：

为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得﹣1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得﹣1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，p_i（i＝0，1，…，8）表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则P₀＝0，p₈＝1，p_i＝ap_i﹣1+bp_i+cp_i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．

①证明：{p_i+1﹣p_i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

②求p₄，并根据p₄的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.8”的假设．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点，曲线与的交点为，求的值．

23. 难度：中等

已知函数.

当时，求不等式的解集；

若存在，使不等式成立，求的取值范围.