福建省2020春季（线上）高二下学期数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

向量，若，且，则的值为（   ）

A. B.1 C.3或1 D.或1

2. 难度：简单

已知，之间的数据如下表所示，则回归直线过点（    ）

	1	2	3	4	5
	1.2	1.8	2.5	3.2	3.8

A. B. C. D.

3. 难度：简单

当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（    ）

A.40 B.30 C.20 D.36

4. 难度：中等

抛物线的准线方程是，则的值为（   ）

A. B. C.8 D.-8

5. 难度：中等

已知，，则（    ）

A. B.1 C. D.

6. 难度：中等

若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知双曲线my²－x²＝1(m∈R)与椭圆＋x²＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(  )

A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±3x

8. 难度：简单

从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（  ）

A. 至少有一个红球与都是红球

B. 至少有一个红球与都是白球

C. 恰有一个红球与恰有二个红球

D. 至少有一个红球与至少有一个白球

9. 难度：困难

设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：简单

下列说法正确的是 （  ）

A.命题“若，则”的否命题为“若，则”

B.命题“”的否定是“”

C.命题“若，则”的逆否命题为假命题

D.命题“若，则”的逆命题为假命题

11. 难度：困难

是双曲线上一点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求的值（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知f(x)是可导的函数，且 f ʹ(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则（    ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题

13. 难度：中等

若，，…，这20个数据的平均数为，方差为0.21，则，，…，，这21个数据的方差为__________．

14. 难度：中等

设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是__________．

15. 难度：简单

若x<m－1或x>m＋1是x²－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

16. 难度：困难

已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是__________．

三、解答题

17. 难度：简单

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）的最小值为﹣4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）的零点个数．

19. 难度：中等

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．

组号	分组	频数	频率
第1组		5
第2组		①
第3组		30	②
第4组		20
第5组		10

（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若二面角大小为，求的长．

21. 难度：中等

已知动圆与圆：相切，且与圆：相内切，记圆心的轨迹为曲线.设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于,两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.

22. 难度：困难

已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）设，若的所有零点中，仅有两个大于，设为，（）

（1）求证：，．

（2）过点，的直线的斜率为，证明：．