2020届福建省高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集，集合，则（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知=（为虚数单位），则复数（ ）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：中等

已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个， 每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（   ）

A.甲命中个数的极差是29 B.乙命中个数的众数是21

C.甲的命中率比乙高 D.甲命中个数的中位数是25

4. 难度：简单

《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（  ）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：中等

若函数y＝ (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log_a＋log_a＝(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

6. 难度：中等

函数 ()的部分图象如图所示，若，且，则（    ）

A.1 B. C. D.

7. 难度：中等

设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为(    )

A.1009 B.1010 C.1011 D.1012

8. 难度：困难

椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，则 的值是

A. B. C. D.

9. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是(    )

A.1010 B.2019 C.2020 D.3030

10. 难度：简单

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）²﹣c²，则tanC＝（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知双曲线,分别为其左焦点与右顶点，若右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数，为前项和，则的个位数字是(    )

A.6 B.5 C.2 D.1

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则二项式的展开式中的系数为__________．

14. 难度：简单

已知向量，若向量在方向上的投影为3，则实数______．

15. 难度：中等

已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________.

16. 难度：困难

分别为菱形的边的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下命题正确的是___________.（写出所有正确命题的序号）

 

①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐渐变小的过程中，三棱锥的外接球半径先变小后变大；④若存在某个位程，使得直线与直线垂直，则的取值范围是.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角的对边分别为外接圆的半径为，且.

（1）若的面积为，求的值；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

18. 难度：中等

如图，四边形为矩形，在上，且，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且在平面上的射影在上.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；

（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．

20. 难度：困难

已如抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被截得的线段长为8.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点是抛物线上的动点，以为圆心的圆过点，且圆与直线相交于两点，是否存在实数使？若是，求出的值；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数

为增函数，求实数的取值范围．

22. 难度：中等

已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点．

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（2）设是过点且关于直线对称的两条直线，与交于两点，与交于两点.求证：．

23. 难度：中等

（1）解不等式；

（2）若成立，求常数的取值范围.