2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则____

2. 难度：简单

复数（为虚数单位）的共轭复数是________．

3. 难度：简单

设向量，，若，则实数的值为_______.

4. 难度：中等

如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．

5. 难度：简单

函数的定义域为_____________________

6. 难度：简单

已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____

7. 难度：简单

在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.

8. 难度：简单

若函数（）的图象关于直线对称，则＝____

9. 难度：中等

已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则         .

10. 难度：中等

在所在的平面上有一点，满足，则=____

11. 难度：中等

已知，则的最小值________.

12. 难度：中等

若函数，存在零点，则实数a的取值范围为____

13. 难度：困难

已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.

二、解答题

14. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C₁C的中点．

（1）求证：AC₁∥平面PBD；

（2）求证：BD⊥A₁P．

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．

（Ⅰ）若c＝2a，求的值；

（Ⅱ）若C－B＝，求sinA的值．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(>>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，求直线AB的方程.

17. 难度：中等

某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.

(1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；

(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

18. 难度：中等

已知函数（）的图象为曲线．

（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；

（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

19. 难度：困难

设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立.

(1)当时.

①求数列的通项公式；

②若，求数列的前项的和；

(2)是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20. 难度：简单

已知矩阵，其中、，点在矩阵的变换下得到的点.

（1）求实数、的值；

（2）求矩阵的逆矩阵．

21. 难度：中等

在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．

22. 难度：中等

已知函数是奇函数.

（1）求实数，的值；

（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.

23. 难度：困难

已知，．记．

（1）求的值；

（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．